Пример 1. УСЛОВИЕ: В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды. а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC. б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС. РЕШЕНИЕ: А) Точка О принадлежит отрезку СМ, значит точка F, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SMC и пересекает SС в точке К. Треугольник SМС равнобедренный, поскольку отрезки SМ и СМ – медианы одинаковых равносторонних треугольников SАВ и САВ. Поэтому SМ=СМ. В точке О пересекаются медианы основания, значит, ОМ=1/3 СМ=1/3SМ. Опустим перпендикуляр из точки F на сторону SМ. Пусть он пересекает SМ в точке N. Треугольники SFN и SMO подобны(по двум углам), поэтому SF/FN=SM/MO=3. Значит, FN=1/3 SF= FО. Следовательно, треугольники MNF и MOF равны и MF – биссектриса угла SMC. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой, поэтому прямая MF перпендикулярна прямой SC. Б) Так как SO – высота, то она равноудалена от вершин основания, т.е. FA=FB, то есть в треугольнике АFB: FМ является и медианой, и высотой. СМ так же является высотой в основании пирамиды, То есть угол FМО – линейный угол двугранного угла между плоскостью MBF и плоскостью АВС, то есть искомый угол. По теореме Пифагора из треугольника МВС: МС=√4–1=√3 = > MO=1/3MC=1/3 √3= √3/3 MO=CM= √3/3 По теореме Пифагора из треугольника SOM: SO=√3–1/3=2√6/3 FO=1/4SO=1/4·2√6/3=√6/6 tgFMO=FO/MO= √6/6 : √3/3= √2/2 угол FМО=arctg (√2/2)  ОТВЕТ: б)arctg (√2/2) Пример 2. УСЛОВИЕ: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD. РЕШЕНИЕ:  Прямая AD параллельна прямой BC. Следовательно, искомый угол — SBC. В равнобедренном треугольнике SBC проведём медиану и высоту SM. Имеем:  Из прямоугольного треугольника SBM получаем:  ОТВЕТ: 
|